Якісна перебудова вищої і середньої шкіл передбачає значне покращення професійної підготовки фахівців,
всебічний розвиток їх творчого мислення.
У даній статті мова піде про одне з таких питань – розв’язування конструктивних задач, яким зараз, на жаль,
приділяється недостатня увага, хоча ці задачі вигідні вже тим, що органічно пов’язані із задачами на доведення
і дослідження.
У роботі зі студентами, а також на різних курсах для вчителів і учнів вже чимало років здійснюється в певній мірі новий підхід до розв’язування конструктивних задач. Загальновизнана схема їх розв’язування така:
аналіз, побудова, доведення і дослідження. Оскільки зміст кожного пункту цієї схеми всім цілком відомий.
Аналіз. Відомо , що означення можна поділити на явні (конструктивні) і неявні (дескриптивні). Тому
умову задачі на побудову доцільно розглядати як неявне означення фігури, яку треба побудувати. З точки зору
геометрії як абстрактної науки під побудовою фігури, яка має задовольняти певним вимогам, ми розуміємо алгоритм умовних дій, що базуються або безпосередньо на конструктивних аксіомах, або на вже відомих найпростіших і основних побудовах . Цей алгоритм є конструкцією, або конструктивним означенням фігури.
Звідси розв’язати задачу на побудову – це значить перейти від неявного означення шуканої фігури до її конструктивного означення. Цей перехід і називається аналізом.
Зауваження: 1. Не зовсім коректно, коли аналіз у конструктивній задачі розпочинають так: “Припустимо, що
задачу розв’язано”. Адже етапи побудови ще невідомі. Краще сказати: “Нехай зображена фігура задовольняє
умові”. 2. Аналіз містить усі необхідні конструктивні кроки (етапи) побудови. Під час розв’язання задачі ці
кроки позначаємо відповідними цифрами в дужках.
Побудова. В діючому підручнику з геометрії [7] аналіз у конструктивних задачах зовсім відсутній,
розв’язання розпочинається безпосередньо з побудови. Зрозуміло, з цим аж ніяк не можна погодитися. В деяких
посібниках навіть попередніх років видання частину аналізу перенесено у побудову. У
підручнику аналіз поєднаний із побудовою. Досвід практичної роботи показує, що відсутність чіткості у цьому
питанні негативно впливає на стан розв’язування конструктивних задач у школі.
У відповідності з наведеним вище поясненням слід вважати, що саме аналіз є основним у схемі розв’язання
конструктивної задачі. Фактично, задачу треба вважати розв’язаною як тільки проведено аналіз. Пункт “Побудова” з математичної точки зору взагалі є зайвим. У більш складних випадках для учнів доцільно лише прокоментувати кроки побудови, одержані в аналізі (особливо це відноситься до алгебраїчного методу. А втім, це є
суто креслярський етап побудови, й вже досвідчені учитель і учень можуть його опустити.
Доведення. Доведення в схемі розв’язання конструктивної задачі є обернений перехід від явного означення
шуканої фігури до її дескриптивного означення. Тому здійснення і аналізу, і доведення показує еквівалентність
явного і неявного означень шуканої фігури. Іншими словами: аналіз показує необхідність знайдених конструктивних кроків, а доведення – їхню достатність для того, щоб побудована фігура задовольняла умові.
За попереднім, доведення, хоча це є математичний пункт, теж не є обов’язковим при розв’язанні конструктивної задачі. Проте його здійснення значно зменшує ймовірність помилки. Крім того, воно має виховне і, у
певній мірі, естетичне значення, бо надає розв’язанню характер певної завершеності.
Дослідження. У школі дослідження в конструктивній задачі має надто умовний характер і зводиться в основному, до повторення можливостей взаємного розташування тих чи інших геометричних місць. У старших класах ми пропонували б в окремих задачах на побудову не тільки якісне, а й кількісне дослідження.
Взагалі кажучи, дослідження доцільно розглядати не як складову частину конструктивної задачі, а як окрему задачу, що має самостійне значення й лише супроводжує задачу на побудову. Більш того, ми переконані, що
різноманітні задачі на дослідження повинні зайняти належне місце у шкільній практиці як четвертий дуже важливий тип задач (разом із задачами на обчислення, доведення і побудову).
